高校数学ミニ講座〜真面目にサボる対数方程式〜

個別指導の学習空間,八千代大和田・佐倉臼井教室の小西です.

先日Twitterでつぶやいたものの焼きまわしです.

(1)xの方程式log_2 x=3を解け.

まず解いてみましょう.

ほとんどの高校生はこう解いたはずです

まず,真数条件からx>0,この下でlog_2 x=3⇔x=2^3=8.これは真数条件x>0を持たす.よってx=8.

もちろん正しい解答です.しかし少し考えてみましょう.すなわち「真数条件に反する解が出てくることはあるのか」ということです.

まず対数の定義に立ち返ってみます.a>0のとき,log_a b=cの定義はa^c=bです.つまりlog_a b=c⇔a^c=bということ.式の形を見れば明らかですが,必ずa^cは正,つまりそれと等しいbも正であることが定義より言えます.

ではもう一度対数方程式に戻ってみますと,log_2 x=3という方程式は対数の定義より2^3=xと同値です.log_2 x=3⇔2^3=xです.右側の式に着目すれば分かると思いますが,底が2(>0)ですので必ず最右辺のxは正になることがわかります.

つまりこの場合は真数条件x>0は「必要ない」ということになります.定義から真数部分は正になることが分かっているからです.少し式の形を変えてみます.log_3 (x-1)=2という式を考えます.この方程式も対数の定義より3^2=x-1と同値であり右辺のx-1は正になることが言えます.

では次の方程式を考えて下さい.

log_2 x +log_2 (x-3) =3

普通の解答では,真数条件としてx>0かつx-3>0からx>3の下で式変形をしていきます.ここでは真数条件は考えなければいけないのですが,実は両方の真数条件を考える必要はないのです.

では真数条件を取り敢えず置いといて,同値な変形になるかどうかを見ていきましょう.

log_2 x +log_2 (x-3) =3…①
log_2 x(x-3)=3…②
x(x-3)=2^3…③

③以降は普通の2次方程式なので省略します.②と③は同値です.対数の定義ですね.では①と②はどうでしょうか.

①が式として成立するためにはx>0とx-3>0の両方が必要です.ですが,②が成立するためにはx(x-3)>0が成り立てば良い.x(x-3)>0は「x>0かつx-3>0」または「x<0かつx-3<0」と同値ですので,②が成り立つからといって①が成り立つわけではありません.①が成り立っていれば②は成り立ちますね. つまり①⇒②は言えるが,②⇒①は言えない,ということです.では②⇒①が言えるためには何が言えなければならないか.②は「x>0かつx-3>0」または「x<0かつx-3<0」ですのでここから「x>0かつx-3>0」だけが成立するためには条件として何が適切か.

答は「x>0またはx-3>0」が成り立てば良いですね.2つの数をかけて正,かつ片方が正ならもう片方も正になるしかありません.つまり②⇒①を成り立たすためには,条件として「x>0またはx-3>0」が付け加われば良い,ということになります.

ということは,今までは真数条件としてx>0かつx-3>0を考えていたわけですが,本当はx>0かx-3>0のどちらか一方が成り立てば良いのです.強調して言うと,x>0とx-3>0のうちの「弱い方の条件」のみを加味すれば正しい解を導く上では問題ないということになります.

「結局どっちも考えたほうが確実でしょ?」と言われそうですが,まぁもちろんその通りなのですが,こういった簡単な例でちゃんとものを考えるという練習をすることは極めて教育的だと思われますし,機械的に方程式を解くよりは幾分か有意義であると思います.

千葉の塾なら個別指導の学習空間

SNSでもご購読できます。

まずは1週間の無料体験学習をお試しください

コメントを残す

*

*