2014年 11月 の投稿一覧

分数の割り算はなぜ逆数をかけるのか

個別指導の学習空間,八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.

たまには数学の話でもしないとなーと思ったので書きます.分数の計算についてです.

「分数のかけ算・割り算はなぜ分母・分子同士の乗除で答が出るのか」
についてです.ちゃんと分かっている方は意外と少ないのではないでしょうか.私もそんなに数学が出来る人間ではありませんが,少しお話していきましょう.

まずはじめに$\displaystyle \frac{2}{5}$という数の表し方について考えてみましょう.あ,余談ですが数は「すう」と読みましょうね.
これは「1を5つに等分したうちの2つ分の大きさを持つ数」として定義される有理数の表示方法の1つです.

\[・・・・・・・・・・\]
を1とすると,$\displaystyle \frac{2}{5}$という数は下の$\{ \}$でくくられた大きさを持つ数ですね.
\[\{・・・・\}・・・・・・\]
こんなふうに5つに等分したということが分かるようにしておくと見やすいですね.
\[・・|・・|・・|・・|・・\]
さてでは本題ですが,次の計算をしてみましょう.

\[\frac{2}{5}\times \frac{3}{7}\]

この式の意味をまず考えましょう.自然数同士の掛け算であれば,その意味は容易に分かります.例えば$2\times 7$であれば,「2を7つ分」だから14だという感じ.では上の式の意味はどうなるでしょうか.自然数のときと同じで良いのです.つまり
\[\frac{2}{5}が\frac{3}{7}個分\]
ということです.これは,$\displaystyle \frac{2}{5}を7等分したうちの3つ分$が$\displaystyle \frac{2}{5}\times \frac{3}{7}$の答であるということです.さて,等分の感じが分かりやすいように以下の○の並びを1だと思ってください.

\[\underbrace{○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○}_{\text{○が35個}=1}\]
この中で$\frac{2}{5}$と表される数はどの部分か,というと下の$「\times」$の部分ですね.
\[\underbrace{\times\times\times\times\times\times\times\times\times\times\times\times\times\times}_{\times\text{が14個}=\frac{2}{5}} ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○\]
これは,35を5等分したら1つ分は7になりますから,それが2個分で14個という思考です.いま,5等分の世界でものを見ているので以下のように敷居を立てておきましょう.
\[\times\times\times\times\times\times\times|\times\times\times\times\times\times\times|○○○○○○○|○○○○○○○|○○○○○○○\]
ではこの$\frac{2}{5}$という数の$\frac{3}{7}$を求めたいと思います.
まず,7等分します.
\[\times\times|\times\times|\times\times|\times\times|\times\times|\times\times|\times\times\]
その3つ分が求める数ですね.以下の△の部分になります.
\[\overbrace{\underbrace{△△|△△|△△}_{\displaystyle \frac{2}{5}\times \frac{3}{7}}|\times\times|\times\times|\times\times|\times\times}^{\displaystyle \frac{2}{5}}\]
さて,これ結局どういう数になるのでしょうか.
元々の○は35個ありました.ということは△が6つなので,この数は$\displaystyle \frac{6}{35}$ということです.式で見ていくと次のようになります.

\begin{eqnarray*}
・\frac{2}{5}\div 7&=&\frac{2}{5\times 7}=\frac{2}{35}(○の数を細かく仕切る)\\
・\frac{2}{35}\times 3&=& \frac{2\times 3}{35}=\frac{6}{35}(細かくした区間の何個分かをかける)
\end{eqnarray*}

で,それをがーっと全部省略すると「分子同士・分母同士かけなさい」という規則になるわけですね.このように面倒な手順を省略するというのは数学ではよくあります.

では次に分数の割り算を見てみましょう.分数の割り算の規則は,かけ算の規則を既知とした上で以下のようになります
\[分数の割り算は逆数をかけろ\]
これは初めての人には取っ付きにくい規則です.しかし,かけ算を元にすれば意外と簡単です.自然数で慣れ親しんだ計算の規則として,「足し算・割り算,かけ算・割り算はそれぞれ逆」というのがあります.これを使いましょう.割り算はかけ算の逆なのです.逆ということは計算の方法は基本的には変わらないということですね.では以下の計算を考えてみます.

\[\frac{6}{10}\div \frac{2}{5}\]
かけ算の規則は「分母同士・分子同士をかけろ」ということでしたので,割り算でも同じことが出来るはずです.つまり「分母同士・分子同士割れ」です.
\[\frac{6}{10}\div \frac{2}{5}=\frac{6\div 2}{10\div 5}=\frac{3}{2}\]
どうですか?カンタンでしょ?
いやいや待ってくれと.こういうのはどうすのだと言うと思います.

\[\frac{3}{7}\div\frac{5}{9}\]
どっちも割れないではないか!と.こういうときは分数のある性質を用います.「分母分子に同じ数をかけても,それらはすべて同じ数を表す」です.以下の数はすべて同じ数ですよね.

\[\frac{2}{5}=\frac{2\times 2}{5\times 2}=\frac{2\times 7}{5\times 7}\]
そこで,次のようにすれば良いのです.

\begin{eqnarray*}
\frac{3}{7}\div\frac{5}{9}&=&\frac{3\times 5\times 9}{7\times 5\times 9}\div \frac{5}{9}=\frac{3\times 5\times 9\div 5}{7\times 5\times 9\div 9}\\
&=& \frac{3\times 9}{7\times 5}=\frac{27}{35}
\end{eqnarray*}

どうでしょうか.しかし,こう言った計算を毎回行うのは面倒なので,1行目をすっ飛ばして「分数の割り算は逆数をかければ良い」としてしまうのですね.かけ算のときと同様,規則の大幅な省略が行われている点に留意しておきましょう.

はい.初等的なお話でしたが,まともな数のお話が出来たかなと思います.語呂合わせやイメージではないちゃんとした説明でもっと分かりやすいものがあれば是非教えて頂きたいです.

さて,最後になりましたが中高生ともに受験まであと僅かです.私は生徒にいつも言っていますが,「やる気が出ない」は言い訳です.まずやりなさい.やる気なんて後から付いてきます.家での勉強を主軸にし,塾でのサポートをしっかり受けて,合格を掴んでください.

成績,伸び悩んでいませんか?


寒くても、外に出よう

学習空間習志野藤崎・八千代台教室の高橋です。

またの名を語学大好きっ子の高橋です(最近は数学も好きです)!!
最近めっきり寒くなりましたね。ですから、「あまり外には出たくない!!家でぬくぬくしている!!」というのが相場なんでしょうが、わたしは基本的には一日一回家からでないと気が済まないので、どこでもいいから外出しています。書店とか、カフェとか、もちろん塾に行くこともありますし、場合によっちゃ特に食べたいものもないのにファミレスとかにもいます。家にいると、それだけで自分自身の可能性が限定されてしまうようでどうも落ち着かないんですよ。

さて、今月、ひょんなことからわが母校に再び足を運ぶことになりました。もともとあまり大きな敷地を持っていない大学ですが、ここ数年で新しい教室棟がたくさん建ってしまい、やや狭くなりました(まぁ、わたし的にはこの大学独自の「閉鎖感」というもの自体は余り嫌いでもないので良いんですけど)。私の出身であるドイツ文学研究科の院生室におじゃまして、研究に向き合っている友達や後輩の姿を見ると、やはり、こっちも負けてられないなと思いますね。

人文科学系の研究は先行研究を踏まえることはもちろんたいせつですが、それ以上に独自の視点や着想、面白さ、そしてそれらをただの「へぇ」で終わらせないための説得力ある理論が必要になります。つまり、ちゃんとした論文で人を納得させるのがものすごく難しいのです。そんな友達も、毎日違った体験を求めて、少しでも自分の論文の肥やしにできるよう心がけているとか。

なので私も最近、何か面白いこと変わったことが一つでもあれば、それを原動力にして、自分を磨きたいとおもい、極力外に出るようにしています。そうして得られた体験を自分自身の仕事、つまり「勉強」の糧にしています(塾の先生だって毎日勉強しているんですヨ!!!)。皆さんも、勉強をただの勉強として考えず、毎日の生活との関連の中で捉え直して頂けたらと思います。ではまた~。
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