2016年 11月 の投稿一覧

最大最小について(無駄に色々)考える

個別指導の学習空間,八千代大和田・佐倉臼井教室の小西です.

さっそくですが,先週生徒に教えた問題から1つ.

【問】
次の関数に最大値,最小値があればそれを求めよ.
\[f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}\]

 教科書に載っているような問題ですが,のんびり考えてみましょう.まずは何の芸もなく微分してみます.$f(-x)=f(x)$が成り立ちますので,$f(x)$は偶関数ですから,$x\geqq 0$の範囲でのみ考えれば良いことになります.
\[f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x}{(x^2+1)^2}\geqq 0\]
より$f(x)$は非減少.また,$\lim_{x\to \infty} f(x)=1$ですから,以上より,最小値は$f(0)=0$,最大値はなしとなります.

 微分しても平易な問題ですが,形が簡単なので微分しないでも解けそうです.そこで$x^2=t$と置換し,$t(=x^2)\geqq 0$の範囲で
\[g(t)=\frac{t}{t+1}\]
の最大最小を考えてみます.
\[g(t)=\frac{(t+1)-1}{t+1}=1-\frac{1}{t+1}\]
です.ただの分数関数,反比例のグラフですので,図示して最小値0,最大値はなしとなります.

 じゃあ元の$f(x)$の形のまま,微分を使わずに$x\geqq 0$で$f(x)$が増加関数であることを示すこともできそうです.増加関数の定義は$a< b\iff f(a)< f(b)$が成り立つことですから,$a< b$のもとで, \[\frac{a^2}{a^2+1}< \frac{b^2}{b^2+1}\] を示しましょう.示すほどのことは何もありませんね.逆数の差をとって, \[\frac{a^2+1}{a^2}-\frac{b^2+1}{b^2}=\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}> 0\]
となるので言えます.

 では次に,関数$g(t)$について違う角度で考えてみます.次のベクトルを用意します.
\begin{equation}
\vec{v}(t)=
\begin{pmatrix}
t\\
t
\end{pmatrix}
\end{equation}

点$(-1,0)$から$\vec{v}(t)$へ向かう傾きを計算すると,$\dfrac{t}{t-(-1)}=\dfrac{t}{t+1}=g(t)$となります.つまり,関数$g(t)$は定点$(-1,0)$と直線$y=x$上の$x\geqq 0$の範囲にある点を結んだ直線の傾きであると言えます.そしたら実際に絵を描いてみれば一目瞭然.傾きの最小値は0($x$軸と一致するとき)であり,$t$の値が大きくなればなるほど直線は$y=x+1$に近づいていきますが,永遠に一致することはありませんので最大値は存在しません.

 この最後のように分数関数を動点とある定点の傾きと見る見方は意外と多くの問題で役に立ちます.機会があったら紹介できれば良いなと思います.レベルは決して高くはありませんが,1個の問題から色々思考を巡らすのは面白いですね.しょうもないことでも一向に構わないので,勉強の際は「こんなふうに考えてもいいんじゃね?」という視点を常に持っていて欲しいと思います.我々はその補助ができれば幸いです.

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ハートフルな日

個別指導の学習空間、四街道東・佐倉臼井教室講師の桑原です。
いやー雪でしたね。千葉の気温は3℃ととっても寒かったです。

先日、高校時代の友人の結婚式に出席したのですが、新郎新婦ともに息がピッタリでほほえましい気持ちになりました。
新婦側の友人という少々型破りな立ち位置で参加させてもらったのですが、披露宴のほうが圧倒的に型破りでした(笑)
ウエディングドレスのままドラム演奏し始めたり、家族でバンド演奏し始めたり・・・
音楽漬けの披露宴で飽きること無くとっても楽しんでました。(ちなみに人生で初めて三大珍味を制覇しました。笑)
新郎新婦ともにとっても温かい雰囲気の方々に包まれて生活していることが伝わってきました。

チャペルを歩く間、自分の人生を振り返っていたと新婦は言っていました。
これから始まる夫婦生活に向けて、自分の人生を振り返るとそこには乗り越えてきた苦難の数々があったとのこと。人は誰しもそのような苦難が存在するものなのだと、再認識しました。

もちろん、振り返りたくない思い出も当然発生してしまうことでしょう。
落ち込んでいるときに側に居てくれる人は、きっと努力や辛さを分かってくれている人なので、大切にしなければなりません。
そんなことを学んだ1日でした。

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ダサい受験生

個別指導の学習空間,八千代大和田・佐倉臼井教室の小西です.

成績のび太くん:4月の模試で偏差値43
成績のび内くん:4月の模試で偏差値44

成績のび太くん「中3になったし,勉強は好きじゃないけど,受験は頑張らないと.勉強やるか」
成績のび内くん「受験とかまだまだ先っしょ.あー塾だりぃ」

成績のび太「友達とは連絡取れなくなるけど,今は勉強に集中するために入試が終わるまではLINEは消そう」
成績のび内「(LINEのタイムラインで)暇な人ー.はなそー」

のび太「Twitterも,受験生同士で良い情報交換ツールではあるけど,ちょくちょくスマホ見ちゃうしな.Twitterも入試終わるまでは見ない!アプリ消しとこ」
のび内「(Twitterで)暇な人ー.話そー(・∀・)  (夜12時半)」

のび太「授業がない日も塾には自習に行けるなら行こう.塾だと質問出来るし,家より集中できる」
のび内「塾のない日は遊べる〜息抜きも大事だね」

塾の先生「今日やった2次関数の問題,入試では標準的な良問なので家で何回も解いてものにすること.1問をしっかり理解するのが大事ですよ」
のび太「先生言ってたしなぁ.正直やりたくないけど何回も解こう.(あぁテレビ見てぇ...)」
のび内「昨日録画したアニメ見なきゃ.今日やった問題は解説聞いたら分かったから大丈夫っしょ」

成績のび太くん:11月の模試で偏差値51
成績のび内くん:11月の模試で偏差値43

のび内「のび太は頭良いからなぁ〜」
のび太「そんなことないよ〜全然数学とか解けないし〜」

ダサい受験生にはならないように.

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昨日のニュースから

個別指導の学習空間,八千代大和田・佐倉臼井教室の小西です.

昨日見たニュースから↓
AI研究者が問う ロボットは文章を読めない では子どもたちは「読めて」いるのか?

大変おもしろい記事です.これを見ると,中学生の約半数がAIと同じような手法で文を読んでいる事が分かります.文が「読める」とはどのような状態かを理解することは長らく人間は出来ませんでしたが,この研究によって,文章を理解するということはどのような状態かが解明されるかもしれません.そうすれば国語教育,ひいては教育全般に革命が起こることでしょう.

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歴史を勉強しています

こんばんは、学習空間八千代台・習志野藤崎教室の高橋です。

最近新たなハマリ事として、世界史を勉強しています。
全年代好きなんですが、特に現代ヨーロッパ史が面白いですね(昔は中世ヨーロッパの独自な雰囲気が好きだったんですが)。
なぜ、この勉強が面白いかというと

1.「今からは想像もつかないようなことが、実際に起こった」ということを学べるから。
2.その出来事に対して、複数の角度から解釈できるから。

の二点に尽きます。例えば、私が中学生の頃は太平洋戦争についてこんな風に述べられるのが一般的でした。

⓵「日本は中国や韓国、その他のアジアの国に侵略行為を繰り返し、これがアメリカの目にとまった。
アメリカは日本の侵略行為をやめるように忠告したが、日本はこれに応じなかったため日米開戦に至った。」

ところが最近、当時の日本の記述を見てみると、次のように書いてあることが多い気がします。

⓶「日本は西洋列強からアジアの国が独立することを目指していた。そのため、『大東亜共栄圏』を提唱し中国や韓国をはじめとするアジアに軍をすすめた。それを見たアメリカは日本の進出を阻止しようとしたが、日本はこれに応じず開戦となった。」

⓵と⓶は明らかに異なる立場で述べられていることがわかります。どちらが正しいかという議論は無意味です。どちらの立場に立つか、と言われれば私は正直に「わからない」と答えます。しかし、確かなのは同じ事象でもこんなに違う解釈が生まれるということです。
実はこれって、文系の学問の面白いところだと思います。文学にしろ、歴史学、社会学そして言語学にしろ(「実学寄り」な法学と経済学は個人的に別だと思います。違ってたらゴメンナサイ。)まず現象があって、その次に必ず「解釈」を行います。そして、その解釈が「間違っていない」ことを示すためにいろいろ頑張る。とはいえ、この作業の最終目的は「今まで見えなかった糸の一本」を発見することであり、「一見関係のない複数の事柄」の間に関係性を見出すことです。ここは理系の学問との違いだと思うのですが「AはBである。」と言い切るのではなく「AとBは意外と関係してるんだね。」程度で十分学問として成立します。それほど縛りがきつくないのですから、文学とファッションを関連付けたり、歴史学と言語学と宗教学を結び付けたり、理系の学問すら取り込んで、歴史学と言語学と生物学みたいな異色コンボも可能なわけです。
ちなみに具体例として、私が大学院生だった時にお世話になった先生の一人に、「ナチス」と「身体文化論(ダンス)」と「建築」を結び付けて研究している先生がいらっしゃいました。たしかに話を聞くと、全然関係がなさそうな先の三つが関連性を帯びてくるのです。

実学を重視する立場からすれば、「そんなコジつけの学問に何の価値があるのか」と言われそうですが、せっかくいろいろな事象が複雑に絡み合っている世の中で我々は生きているのですから、「コジつけられるだけコジつけてみよう。そうしたら、その中のいくつかは将来凄い発見になるだろう。」と強く思います。ではまた~。

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説明できないことに挑む

個別指導の学習空間,佐倉臼井・四街道東教室講師の桑原です.

中学生はだいたいテスト期間に入りましたね.今年最後の定期テストですね,気が緩みがちになるこの季節だからこそ,普段の勉強の濃密度が物を言います.気を引き締めていきましょう.

最近生徒に「〇〇しても意味がないじゃん」「〇〇にそんなに頑張ってもこの先使わないし・・・」と言われました.

確かにその通りだと思いました.
ゆくゆくは使えるから,毎週行われる単語テストに向けて単語を頑張って覚えて.
自分のような職業でなければ,その単語を使うことはほとんどの大人がありません.

ここで,我が国における説明責任追求の意識の高さが見て取れなと感じました.
東京都のオリンピックに使用するボート会場見直し問題や,豊洲新市場移転問題のように,日本人のダメ・ムダを見つける批判的な能力は優れているので,説明責任を追求する姿勢は高いです.「なんでも大人なら説明できるよね」とアラ探しが上手であり好む意識が我々には根付いているということでしょうかね.
果たして世の中の物事全部説明出来ることしか存在しないのでしょうか.勉強する意味,職に就く意味,通貨の意味.考えれば説明できそうですが,テンションに身を任せることも大切ですよね.言い換えれば「説明できない物事」に全力で向き合うことです.「何でそんなことするのか」「その行為に意味あるのか」
しかし「好きだから・やりたいからやる」動機はコレだけで十分です.自分はこの間,ご飯に合う最強の調味料トーナメントを開きました(1位はク○イジーソルトでしたwww)あとは,最強の牛丼選手権なんかも過去に開きましたね.なんかやってることユーチューバーみたいですねw

繰り返しですが,勉強の意味だって説明出来ません.説明というより保証という方が正しいですかね.
説明できないことを行動してみることに身を投じることで見えてくることを突き詰めていきたいと思います.

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