数学

今年度役に立った参考書とか問題集とか

個別指導の学習空間、佐倉臼井教室の小西です。

・現代文
『全レベル問題集④,⑤』梅澤 眞由起
『現代文標準問題精講』神田邦彦
『決める!センター現代文』船口明

・古文
『古文上達 基礎編』仲光雄
『古文の読み方&解き方が面白いほど身につく本』岡本梨奈

・英語
『解体英熟語』風早 寛
『英語長文がロジカルに読める読める本』横山雅彦
『英語長文がロジカルに読める読める本 客観問題編』横山雅彦
『LINKAGE』戸澤 全崇
『早慶突破の英単語・熟語』戸澤 全崇
『クイズでマスターするGSL基本英単語2000』日向 清人
『イチから鍛える英語長文』シリーズ 内川 貴司、 武藤 一也
『これが入試に出る!英文法・語法問題ベスト400』戸澤 全崇
『得点力を高める 標準問題 特訓リーディング』戸澤 全崇
『難関大のための 上級問題 特訓リーディング』肘井学

・数学
『イチから鍛える数学演習』シリーズ 矢加部淳、 山之内聖拡
『1対1対応の演習』シリーズ 東京出版

・物理
『物理(物理基礎・物理)基礎問題精講』大川 保博、 宇都 史訓
『らくらくマスター 物理基礎・物理』河合塾
『良問の風物理頻出・標準入試問題集』浜島 清利
『物理教室』河合塾
『短期攻略センター物理基礎』溝口 真己

・化学
『化学重要問題集 2018―化学基礎・化学』数研出版
『化学の新研究』卜部 吉庸

・生物
『生物合格77講【完全版】』田部 眞哉

・地学
『センター地学基礎―短期攻略』小野 雄一
『きめる!センター地学基礎』田島一成 (著), 岡口雅子 (監修)
『解決! センター 地学基礎[新装版]』増田哲雄

・日本史
山川の教科書
『詳説日本史』山川
『HISTORIA[ヒストリア] 日本史精選問題集』佐藤四郎、 舩倉淳
『日本史単語の10秒暗記 ENGRAM2200』井之上勇、 野島博之

・センター関連
実践問題集(河合,東進,駿台の全教科)

千葉の塾なら個別指導の学習空間

そろそろ勉強会の季節

個別指導の学習空間,八千代大和田の小西です.

さて,センター試験まで残り71日となりました.今年も早いですねー....受験生の皆さん息してますか??(真顔

てことで大学受験生が多い八千代大和田教室は,今週から休日もなるべく開室します.
取り敢えず明日3日と,5日の日曜日は9時~21時の予定です.僕の勤労意欲がなくなったら休む予定です.(なくならないようにぼちぼち頑張ります)

高3の理系は基本知識の総点検をします.センター数学で7割取れてない層向けの内容です.
ついでのMARCHの英語長文の演習もしたいと思います.それ以外の生徒はひたすら自習をします.

あと,8日の水曜日に尊敬する予備校の国語の先生がお越しくださいます.センター現代文の指導をしてくださります.
また,27日の月曜日には大阪からこれまた僕の尊敬する先生がいらっしゃいます.理系化学の指導をして頂く予定です.

今年は去年までと違い,積極的に外の人に仕事を依頼しています.理由は2つあります.
1つは僕1人では当然見きれないこと.大学受験の全教科を1人で指導するのは普通に考えて無理です.出来る人もいますが僕はできません.
僕よりも適任の人がいて,引き受けてくださるのならお願いしたほうが良いと判断したからです.
2つめは,他の人に依頼することで自分の指導の質が上がると考えたからです.自分たちだけで指導していたら,どうしても甘えが出てしまうと僕個人は思います.
不合格になりそうな生徒に対して何かしら理由をつけて「仕方ない」と考えてしまうということです.塾の先生っていうのは,悲しいかな意外とそういう人もいます.
しかし,自分よりもレベルの高い人に仕事をお願いして,1人の生徒を複数人で指導することになれば話は別です.例えば僕が数学を,違う先生が英語を指導していたとして,入試本番で英語は点が取れていたのに数学で点が取れず不合格になってしまったのなら,それは100%僕の責任です.英語は上がっているのだから言い訳はできない.
少しだけそういう環境に身をおいてみたかった.それが2つめの理由です.

八千代大和田教室での大学受験の指導は,去年までと比べて格段にレベルが上っている実感があります.
しかしまだまだなところも多々あります.というかまだまだなところしかないようにも.....
来年以降に向けて,残りの期間,やるべきことをやって参ります.

千葉の塾なら個別指導の学習空間

夏期集中特訓(最難関大対策数学)を終えて①

個別指導の学習空間.八千代大和田・佐倉臼井教室の小西です.

先日,他塾の先生の依頼があり,数学の最難関大対策の講習をしました.講習は4時間×3日間ととても短かったですが,私自身高度な数学の話をさせていただくのは久しぶりですし,とてもわくわくしながら臨みました.参加した受講生たちも,最初は死にそうな顔でしたが,2日目,3日目と時間が経つにつれ,良い目をするようになり,最後は理想的な形で講義を終えることができました.

受講生にコメントを書いていただいたので下記に記載します(掲載の許可は頂いております).

ーーーーーーーーーーーーー
<藤代伸(東大志望)>
8/14~16日、小西先生に夏期特別講習を開いていただいた。

内容は記号論理学の初歩段階を、大学入試問題を通して読み解いていく。というものだった。おそらく、高校生には論理学とは何か見当がつかないことかと思う。私自身、数学が苦手なこともありはじめテキストを眺めた際に「数学がより嫌いになる」、「何も得られるものがないのではないか」といった恐怖心に襲われた。無茶なことをしても意味がないという冷めた気持ちで授業を受け始めた。実際、初回の授業はノートをとることで精一杯だった。
しかし、講習の帰路に着くと、何も理解ができなかった悔しさのあまり、ノートに書いてある内容を見返した。今まで数学を学んでいる上で生まれた謎や疑問点が論理的に氷解していった。それもそのはずである。数学は論理性の高い言語だからである。

つまり、その論理が理解できていなかったということは、今まで一丁前に数学を学んできたと声をあげていたのにも関わらず私は数学の厳密な定義を知らなかったことになる。
例えば、「同値」という言葉がある。言い換えるならば、「必要十分条件」。単語は知っていた。しかし、同値が正確にはどのような意味で、どのような使い方ができるのか、はっきりと明言することができなかった。そういった、数学では基礎的な単語を小西先生は一つ一つ丁寧に説明していた。特別なことは何もなかったのだ。私は、そのことに強く衝撃を受けた。というのも、授業というのは教科書には載っていない便利な公式や定理を教えて、エレガントに解答を書けるようにしてくれる、ドラえもんのようなものだと思っていたからだ。しかし、そのような先入観が、自身をのび太くんにしてしまっていた。入試問題に、自身がよく理解していない付け焼刃で挑んでいたのだ。

そのことに気付いたおかげで、次の日からの授業の見る目線が変わった。自分がよく理解できていなかったものは何なのかを常に考えるようになった。
また、文の論理性に気をつけるようになったのだ。小西先生の仰っていた「数学は言語であり緻密な論理性がある、だから数学を解く際にはその点を意識して解かなければならない」という言葉の意味が少し理解できたような気がする。
講習が終わりに近づくにつれ、とある感情に襲われた。もっと数学を知りたいという気持ちである。3日間という短い期間を恨めしく思い、もっと学びたいという飢餓感に囲まれた。これはとても恐ろしいことで、今までにない感情だった。

この講習で感じたことを最後にここに記しておきたい。
勉強とは、残念ながら無味乾燥な知識の羅列を暗記していることが多いと思っている。しかも、曖昧な定義を、である。そのような曖昧なものを土台にして受験に臨める場合もあるかもしれないが、大抵はどこかで無理が生じ、授業についていけなくなり、受験にも失敗するのだ。去年、現役で第一志望の大学に落ち、私は今浪人生である。つまり、今の話は私の失敗談である。であるにもかかわらず、私はそのことについ先日まで気づかずに数学を学んでいた。この講習で、やっと気づくことができたのだ。

はっきり言って、小西先生は学問に対して寡黙ではじめは若干雰囲気が掴みにくいと感じたり、畏怖の念を感じてしまうかもしれない。しかし休みを返上し、生徒のためにプリントを作り、授業をし、学習しやすい環境を作る努力を惜しまない勉強馬鹿、そんな印象を受けた。しかし、その姿を見て、私もそんな‘‘人情に厚い勉強馬鹿’’になりたいと心から思った。

最後に、受験数学を超えた数学の面白さ、そして言葉の論理の奥深さを享受していただいた小西先生にこの上ない感謝の気持ちを抱いております。本当にありがとうございました。
ーーーーーーーーーーーー

千葉の塾なら個別指導の学習空間

最大最小について(無駄に色々)考える

個別指導の学習空間,八千代大和田・佐倉臼井教室の小西です.

さっそくですが,先週生徒に教えた問題から1つ.

【問】
次の関数に最大値,最小値があればそれを求めよ.
\[f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}\]

 教科書に載っているような問題ですが,のんびり考えてみましょう.まずは何の芸もなく微分してみます.$f(-x)=f(x)$が成り立ちますので,$f(x)$は偶関数ですから,$x\geqq 0$の範囲でのみ考えれば良いことになります.
\[f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x}{(x^2+1)^2}\geqq 0\]
より$f(x)$は非減少.また,$\lim_{x\to \infty} f(x)=1$ですから,以上より,最小値は$f(0)=0$,最大値はなしとなります.

 微分しても平易な問題ですが,形が簡単なので微分しないでも解けそうです.そこで$x^2=t$と置換し,$t(=x^2)\geqq 0$の範囲で
\[g(t)=\frac{t}{t+1}\]
の最大最小を考えてみます.
\[g(t)=\frac{(t+1)-1}{t+1}=1-\frac{1}{t+1}\]
です.ただの分数関数,反比例のグラフですので,図示して最小値0,最大値はなしとなります.

 じゃあ元の$f(x)$の形のまま,微分を使わずに$x\geqq 0$で$f(x)$が増加関数であることを示すこともできそうです.増加関数の定義は$a< b\iff f(a)< f(b)$が成り立つことですから,$a< b$のもとで, \[\frac{a^2}{a^2+1}< \frac{b^2}{b^2+1}\] を示しましょう.示すほどのことは何もありませんね.逆数の差をとって, \[\frac{a^2+1}{a^2}-\frac{b^2+1}{b^2}=\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}> 0\]
となるので言えます.

 では次に,関数$g(t)$について違う角度で考えてみます.次のベクトルを用意します.
\begin{equation}
\vec{v}(t)=
\begin{pmatrix}
t\\
t
\end{pmatrix}
\end{equation}

点$(-1,0)$から$\vec{v}(t)$へ向かう傾きを計算すると,$\dfrac{t}{t-(-1)}=\dfrac{t}{t+1}=g(t)$となります.つまり,関数$g(t)$は定点$(-1,0)$と直線$y=x$上の$x\geqq 0$の範囲にある点を結んだ直線の傾きであると言えます.そしたら実際に絵を描いてみれば一目瞭然.傾きの最小値は0($x$軸と一致するとき)であり,$t$の値が大きくなればなるほど直線は$y=x+1$に近づいていきますが,永遠に一致することはありませんので最大値は存在しません.

 この最後のように分数関数を動点とある定点の傾きと見る見方は意外と多くの問題で役に立ちます.機会があったら紹介できれば良いなと思います.レベルは決して高くはありませんが,1個の問題から色々思考を巡らすのは面白いですね.しょうもないことでも一向に構わないので,勉強の際は「こんなふうに考えてもいいんじゃね?」という視点を常に持っていて欲しいと思います.我々はその補助ができれば幸いです.

千葉の塾なら個別指導の学習空間


歴史を勉強しています

こんばんは、学習空間八千代台・習志野藤崎教室の高橋です。

最近新たなハマリ事として、世界史を勉強しています。
全年代好きなんですが、特に現代ヨーロッパ史が面白いですね(昔は中世ヨーロッパの独自な雰囲気が好きだったんですが)。
なぜ、この勉強が面白いかというと

1.「今からは想像もつかないようなことが、実際に起こった」ということを学べるから。
2.その出来事に対して、複数の角度から解釈できるから。

の二点に尽きます。例えば、私が中学生の頃は太平洋戦争についてこんな風に述べられるのが一般的でした。

⓵「日本は中国や韓国、その他のアジアの国に侵略行為を繰り返し、これがアメリカの目にとまった。
アメリカは日本の侵略行為をやめるように忠告したが、日本はこれに応じなかったため日米開戦に至った。」

ところが最近、当時の日本の記述を見てみると、次のように書いてあることが多い気がします。

⓶「日本は西洋列強からアジアの国が独立することを目指していた。そのため、『大東亜共栄圏』を提唱し中国や韓国をはじめとするアジアに軍をすすめた。それを見たアメリカは日本の進出を阻止しようとしたが、日本はこれに応じず開戦となった。」

⓵と⓶は明らかに異なる立場で述べられていることがわかります。どちらが正しいかという議論は無意味です。どちらの立場に立つか、と言われれば私は正直に「わからない」と答えます。しかし、確かなのは同じ事象でもこんなに違う解釈が生まれるということです。
実はこれって、文系の学問の面白いところだと思います。文学にしろ、歴史学、社会学そして言語学にしろ(「実学寄り」な法学と経済学は個人的に別だと思います。違ってたらゴメンナサイ。)まず現象があって、その次に必ず「解釈」を行います。そして、その解釈が「間違っていない」ことを示すためにいろいろ頑張る。とはいえ、この作業の最終目的は「今まで見えなかった糸の一本」を発見することであり、「一見関係のない複数の事柄」の間に関係性を見出すことです。ここは理系の学問との違いだと思うのですが「AはBである。」と言い切るのではなく「AとBは意外と関係してるんだね。」程度で十分学問として成立します。それほど縛りがきつくないのですから、文学とファッションを関連付けたり、歴史学と言語学と宗教学を結び付けたり、理系の学問すら取り込んで、歴史学と言語学と生物学みたいな異色コンボも可能なわけです。
ちなみに具体例として、私が大学院生だった時にお世話になった先生の一人に、「ナチス」と「身体文化論(ダンス)」と「建築」を結び付けて研究している先生がいらっしゃいました。たしかに話を聞くと、全然関係がなさそうな先の三つが関連性を帯びてくるのです。

実学を重視する立場からすれば、「そんなコジつけの学問に何の価値があるのか」と言われそうですが、せっかくいろいろな事象が複雑に絡み合っている世の中で我々は生きているのですから、「コジつけられるだけコジつけてみよう。そうしたら、その中のいくつかは将来凄い発見になるだろう。」と強く思います。ではまた~。

千葉 :千葉の塾なら個別指導の学習空間

三角関数の積分(有名置換と置換をしない純粋な心)

個別指導の学習空間,佐倉臼井教室・八千代大和田教室の小西です.

今日は数Ⅲの積分です.基本的な問題をやります.

【問】$I=\int \dfrac{dx}{\sin x}$を求めよ。

積分の練習をしてみましょう.三角関数の積分をする際に,なんかむずそうだなと思ったら取り敢えず例の置換を試してみるのが有効です.もちろん出来ないこともありますが.その置換とは,
\[\tan \frac{x}{2}=t\]
とおく,です. こうすると,以下のようにそれぞれが$t$で表せます.

\begin{eqnarray}
\sin{x}&=&2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=\tan{\frac{x}{2}}\cos^2{\frac{x}{2}}\\
&=& \frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}}=\frac{2t}{1+t^2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\cos{x}&=&\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}=\big(1-\tan^2{\frac{x}{2}}\big)\cos^2{\frac{x}{2}}\\
&=& \frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{eqnarray}

また,$\tan{\dfrac{x}{2}}=t$の両辺を$x$で微分して,
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}}&=& \frac{dt}{dx}\\
\therefore \frac{dx}{dt}&=& 2\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{2}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}}=\frac{2}{1+t^2}
\end{eqnarray}

この置換は典型的なのでどの関数が$t$を用いてどのように表わされるかは知っておくと良いでしょう.そして,これを用いることにより,以下のように計算ができます.

\begin{eqnarray}
I&=& \int \dfrac{1}{\sin x} \frac{dx}{dt} dt = \int \frac{1+t^2}{2t} \frac{2}{1+t^2} dt\\
&=& \int \frac{dt}{t}=\log |t| +C\\
&=& \log |\tan\frac{x}{2}|+C
\end{eqnarray}
となって求まります.

 ただ,なるべくなら置換は使いたくないというのが本音です.なので,「有理化っぽいこと」をやります.分母と分子に$\sin x$をかけてみます.

\begin{eqnarray}
I&=& \int \frac{\sin x}{\sin^2 x}dx=\int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx\cdots ☆\\
&=& \int \frac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}dx\\
&=& \int \frac{1}{2} \left\{ \frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\ \right\} dx\\
&=&\frac{1}{2}\{\log|1-\cos x|-\log|1+\cos x|\}+C\\
&=& \frac{1}{2}\log\left| \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| +C\\
&=&\frac{1}{2}\log \frac{1-\cos x}{1+\cos x} +C
\end{eqnarray}

となって求まります.細かい説明は飛ばしました.部分分数分解のとことか,絶対値が外れるところは考えてみてください.一見して結果が異なるように見えますが,倍角の公式を用いてしまえば
\[\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}}=\tan^2 \frac{x}{2}\]
となり,$\dfrac{1}{2}$を$\log$の中に入れてしまえば最初の結果になります.ちなみに☆の部分で$\cos{x}=t$と置換してしまってもOKです.そっちの方が見やすくなるかもしれません.

 試験本番では考える時間もあまりないので,後半のような計算が思いつかなければさっさと置換してしまいましょう.普段の練習の際は,なるべく置換しないで計算が出来る方法を考えるのが積分の計算が早くなるコツです.

千葉の塾なら個別指導の学習空間


土曜日の指導

個別指導の学習空間,八千代大和田教室・佐倉臼井教室の小西です.

 弊社では平日(月〜金)は通常の空間系の指導が行われています.講師が1対1で生徒を指導するのではなく,その日の学習内容を決めてなるべく生徒が自分で勉強が進められるように支援をしていくスタイルです.生徒は基本的に各々,決められたメニューを学習し,その間講師は机間巡視をしつつ,質問受けは勿論として,生徒が学習内容を理解しているかのチェックやテストなどをします.自習が出来る生徒というのは正直ほとんどいませんので,どのように学習を進めるかや,間違えた問題のやり直しをどうするか,単語を覚えるときはどうするか,など勉強の「やり方」に関わる部分を中心に指導することも多いです.授業形式で教え込むよりは,チェックを何回も行ったり,テストを頻繁にする方が成績も上がってきやすいと経験的にも思いますので,このような形式で指導をしております.最近ちょくちょくできはじめたスタイルで,一部の塾講師界隈では1対1でやるいわゆる個別指導を「従来型」,我々のような指導スタイルを「空間系」と呼んでいます.

 千葉エリアでは,土曜日だけは普段の空間系の指導とは異なり1対1からの少人数制の「いわゆる」個別指導を行っています.1コマ80分で15時半から4コマ分の枠を設定しています.週1日だけの通塾で成績が上がるなんてことはなかなかないので,土曜日を希望の生徒には基本的に平日の空間系と土曜の個別を併用していただいています.土曜日は普段の空間系と違って生徒に問答したり,教え込むことで難しい問題にトライしたり,下位層の生徒にも通常レベルのことをしたり,少し背伸びした勉強も出来ますし,個人的には非常に楽しく指導させていただいております.

 私は土曜日は佐倉臼井教室での指導ですので,土曜個別は佐倉臼井教室のみの担当です(八千代大和田教室では土曜個別は相方の川田先生に担当してもらっています).現在は中学2年生が1名,高校3年生が2名の計3名を土曜日に指導させていただいております.もうちょっと入れますので,ご興味ありましたらご相談下さい.

 中学2年生の方は数学を教えています.最近連立方程式に入ったところで,前回の指導で導入から加減法での解法までを行いました.数学はどうしても演習が必要ですが,80分の中で講義から演習までをこなすのはなかなか時間的に厳しいので,ある程度の宿題を課しています.翌週の土曜日に提出してもらう感じです.解答・解説はすべて生徒に渡して,自分で丸付けまでしてくるように指示しています.ちなみに僕は宿題を出す際は必ず解答・解説は付けます.やりっぱなしになったり,どうしても分からない問題などで長考しすぎても意味がありませんので,丸付け→やり直しまで自分で出来るようにという配慮です.翌週にやって来ているかを確認して,次回の講義の中で理解出来ているかを問答しながら確認していっています.

 高校3年生の二人は英語の指導をしています.そんなに長くない英語の文章を交代しながら訳していってもらいます.1日に3〜5つ程度の文章を読みます.訳をしていく中で文法や単語の意味,背景知識などを補完していきます.授業と違い延々と問答するので,普段授業を聞き慣れていない生徒にとっては非常に頭を使うやり方だと思います.たまに一般教養の話も挟むので英語が進まなくなることがありますが,大事なことですのである程度は話しています.先日はキリスト教と神道の話を少ししました.本当は英語なんかよりこういうののほうが大事なのですが,いかんせん受験に通らにゃいかんので程々にしています.

 土曜日の中身はこんな感じです.また機会があれば,塾の内情などをお知らせしていけたらと思います.

千葉の塾なら個別指導の学習空間

2016年センター数ⅡB 感想



個別指導の学習空間.八千代大和田・四街道東教室の小西です.

 先ほど最後の生徒が帰りまして,数ⅡBを解き始めました.今しがた解き終わったのでまたまた雑な感想を(書き始めてから1時間以上経っちゃいましたが...w).誤字ってたらすみません.

第1問
(2)は結構苦戦した受験生が多いかも.y軸対称,x軸対称,原点対称,などの事項をしっかり理解しましょう.文字を入れ替えると直線y=xに関して対称になるのも忘れずに.(3)はなんでもない対数関数の最大最小値問題.計算ミスしてなければだいたい出来る?
[2]は三角関数の問題ですが,例年のような少々エグめの計算は皆無です.二倍角使ってsinの変域に注意しつつ定数kの値で場合分け,$k=\dfrac{1}{4}$のときは解がコサインの方と被るので早とちりしないように.(2)はxの変域に注意しつつ,倍角使ってオシマイ.

第2問
(1)はただの計算.(2)は図を書けばある程度見えるかなぁ...ツまではいけて欲しい.Uは1から$a+1$まで積分しておしまいで,Tは$S-U$を計算しておしまい.さほど辛い計算ではないのでゴリ押ししましょう.センター微積分は方針は単純ですが,計算が少々エグくなる可能性があるので,大事なのは「これで行く!」とさっさと決めて計算をゴリゴリする決断力です.しかも本問は例年ほど計算は拍子抜けするほどエグくありません(気がするだけか?).Tが求まったら微分して2次方程式解いておしまい.一応変域と増減を確認しなければなりませんが,マーク用紙の形を見て即決でも良いと思います.6分の1公式使わない問題でした.例年ほどエグ目の計算はありませんでしたが,後半の計算(Uを出すあたりから)は一般的な受験生には十分辛いものだったでしょう.物事を構造で捉える重要性が分かりますね.

第3問
群数列でたー.僕は個人的に群数列は苦手です....(泣)
(1)は問題なし.(2)は(1)から数の関係性をつかめれば和の計算をして1足して引いておしまい.$a_{104}$は,僕はこういうのは結構勘で出しちゃうんですが,$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}=104$を考えると14×15=210なので,$a_{104}$は分母が15のときだと分かります.分母が15の項の初っ端は$\dfrac{14\cdot 13}{2}+1=92$より$a_{92}$なので,104-92+1=13から答えが$\dfrac{13}{15}$に決まります.(3)の最初は普通に和の計算して,それをもっかいΣすればニヌネノまではまぁOK.前半でバテちゃった人は捨ててベクトルに行ってるかも.ハヒフヘホは,分母が15の項の終わりまでの和から$\dfrac{14}{15}+\dfrac{13}{15}$を引けばよろしい.なんでこれ104までじゃなくて103までなんだ??$a_{104}$が分母が15の項の終わりの方なので,そこをよく見れば方針は立ちます.

第4問
(1)はウエオカキが埋まればPQの長さまで自動的に出ます.特に言うことなし.強いて言えば展開頑張って.
(2)は定番の内積0から90度.そしたら面積も出せる.重心の位置ベクトルは
\[OG=\dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{a}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{b+c}{2}\]
と変形し(ベクトルの矢印は省略してます),後半が$\dfrac{2}{3}OQ$になるので良し.そしたら2:1に内分する点というのも分かるし,面積比も2:1になるので,$\sqrt{2}\times \dfrac{1}{3}$でfinishです.

全体的に去年よりは易しいです.去年の数列が難しかったからなんですが,どの設問を見ても去年のほうが圧倒的に難しかったと思います.しかし,やはり計算量は一般的な受験生からするとやはりそれなりに多いので,結局いつものⅡBの試験って感じに点数は落ち着くと思います.うちの塾生を見てもあまりⅡBは点数が振るっていませんでした.完全に僕の力不足です...ここからまた頑張ります.

他の教科については,英語と倫理と国語(現代文)は解きましたが,専門外のためブログなどに感想を書く知識も持ち合わせていないため何も書きません(書けません).

千葉の塾なら個別指導の学習空間

基本が出来ているとはどういうことか(ちょっと前の話)



個別指導の学習空間.八千代大和田・四街道東教室の小西です.

 数カ月前の話です.高3の理系のT君が微分の問題を解いていました.合成関数の微分などを使う問題です.その問題を解き終わった直後に僕が思いつきで問題を出しました.次のような問題です.

【問】円$x^2+y^2=25$の点$P(3,4)$における接線の傾きを求めよ.ただし微分法を用いてはならない.

 T君は僕が教えだしてから1年以上経つので,だいたい彼の反応は分かります.この日も僕の予想通りの反応でした.手が止まるのです.5分ほど考えて「わかりません」と言いました.

そこで,僕は次のように言います.「原点から点$P$に向かって線を引きなさい」

そしたらT君は「うわぁ...$-\dfrac{3}{4}$ですね.なんで出てこなかったんだろ」というリアクションをしてしっかり答を出してくれました.T君はまだまだ数学の基本が出来ているとは言いがたい部分もありますが,今回に関しては基本的なことは理解出来ているようです.

少なくともT君が「うわぁ」と言うまでには3つの思考のステップが存在します.

①$OP$と接線は直交するという定理が初等幾何にある.
②直交する2直線の傾きの積は$-1$である.
③$OP$の傾きは$\dfrac{4}{3}$なので,求める接線の傾きは$-\dfrac{3}{4}$である.

そしてT君は微分法によって凝り固まった自らの頭の四角さを猛省するわけですが,ここで「原点から点$P$に向かって線を引きなさい」という指示から①と②を一瞬で引き出してこれるのがいわゆる数学の基礎力だと思います.つまり数Aや数Ⅱで学んだ事項をちゃんと記憶していて,きっかけが与えられれば引き出してこられるということです.
これが基本が出来ていない生徒相手だと①〜③までを事細かに説明しなければいけません.もちろん僕はT君は線分$OP$を書いただけで答まですぐに行き着くと確信していたから上のような指示だけをして他は一切なにも教えませんでした.もちろん本当は自分でこれくらいは引き出して来れないといけないわけですが.

千葉の塾なら個別指導の学習空間

大学合格とその後

個別指導の学習空間.八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.

先日,公募推薦を受験していた高3生から合格の報告を頂きました.生徒が志望校に合格するのはやはりこの仕事をしていて何よりうれしいことです.あとは高校を卒業するまでに大学初年レベルの数学や,大学で学問をやる上での基礎知識を仕込みます.大学受験に合格したからって勉強が終わるわけではありませんからね.むしろ大学受験はウォーミングアップであって,本当の勉強はここからのはずです.

その生徒は理系ですので,取り敢えず合格した日からは線形代数の予習と基本的な数学について学んでいます.線形代数というのは超ざっくり言うとベクトルの「超スゲーバージョン」です.今は新課程になって,指導要領から行列が削除されてしまいましたが線形代数は行列が分かっていないと非常に厳しい分野です.数学の基本中の基本と言っても過言ではないものですので,大学に入るまでに終わらせておくように指示を出しています.

大学に合格しても勉強の灯火が消えない.そんな生徒に育ってくれて本当に嬉しく思います.そういう生徒を育てたいと日頃から指導にあたってきたかいがあるというものです.

千葉の塾なら個別指導の学習空間