2015年 2月 の投稿一覧

東大前期 理系・文系 雑感

個別指導の学習空間,八千代大和田・四街道東教室の小西です.

どうもです.最近体調を崩し気味でございます.鼻声で喉が痛いですねはい.それもありーの他にも色々ありーのでなかなか入試問題解けずにいます.取り敢えず東大だけ解いたんで雑な感想を(遅くね?とかのツッコミはなしでお願いします).断っておきますが本当にただの感想です.予備校のホームページの解答見たほうが1億倍役に立つのでご了承下さい.

じゃ理系から.
<第1問>
典型問題.分母払って$a$について整理した2次方程式
\[4(x^2-1)a^2-4ya+1=0\]
が$a>0$なる解を持つ必要十分条件を求めます.通過領域と変数の存在条件が同じになるのが理解できてない人は『総合的研究』や大学への数学などで勉強して下さい.それか僕がいる日に教室来てくれれば教えます.

<第2問>
確率.ちょっとむずい.AAを区別して考えたほうが楽かな??漸化式を作って極限飛ばす問題は東大は頻出ですが,今回は極限はなし.でも漸化式作るまでが大変.

<第3問>
典型問題.引き算した関数を微分して極小値が0になるように計算してもいいですし,絵を書けば分かりますが点Qで2曲線が共通接線を持つことが言えるので,Qの$x$座標を$t$としたとき,2本の接線
\[y=\frac{1}{t}x-1+\log t\]

\[y=apt^{p-1}x+a(1-p)t^p\]
が等しくなることから右辺の恒等式と考えて処理してもOKです.積分で$(\log x)^2$の積分が出てきますが,部分積分で
\[\int (\log x)^2dx=x(\log x)^2-2\int \log xdx=x(\log x)^2-2(x\log x-x)+C\]
と計算してあげれば大丈夫です.普段から基本的な計算をきっちりこなしてるかが大事ですね.

<第4問>
Fibonacciがらみの漸化式の問題.見た目が取っ付き易いので1,3問の次に解いておきたい.(1)が解ければ(2)はたぶん解けるので,(3)の式変形で手こずらなければ解けるような気がする.

<第5問>
ここから今年の東大は難しくなる.色んな所で話題のこの問題,結構難しい....w
分子の素因数2の個数が分母の素因数2の個数を追い越せば良いってとこまでは誰でも分かるんだけど,そこから具体的にどうするかが難しい.
\[2016=2^5\times 63\]
なので,$2016-a$で$a$が31以下の場合は素因数の個数が4個以下でしかも分母の素因数2の個数と等しい事が言えれば32が答えであることを確かめればOK.
予備校のHP見たら2進法でスッキリ解く方法が載ってました.これは思いつかないですよ.....もっと精進します....
聞く話によると1999年の理系第5問がこれの類題なので,過去問をしっかり研究してる人には簡単に感じられたかも??

<第6問>
積分の評価の問題.(1)は割りと普通.区間の外では関数値が0なので積分区間を変えても大丈夫だって分かればわりかしあっさりいく??(分かりにくい表現ですいません)
(2)は難しい.解けなくてもいい問題だと個人的には思う.$g(nx)$を微分すると$h(nx)$が出てくるところから部分積分が連想出来るか.積分が上手くいった後も,ちょっとややこしい関数の評価をしないといけないので最後まで辿り着くのは結構大変.最後は予想通りはさみうち.

じゃ次は文系.文理共通問題が1問もありませんでした.
<第1問>
(1)を瞬殺して(2)へいこう.1変数消去して2変数関数を上から評価することになるんだけど,最大・最小が知りたいから平方完成が思いつけば大丈夫.で等号成立があり得ないことを言って完了.

<第2問>
最初(i)かつ(ii)だと読み間違えしてました.アホですすいません.
二次関数の式立てて変数消去して頂点の条件に入れてPがC上にあることからパラメタ消して整理して絵書いて積分しておしまい.この辺もパラメタを消去すればなんで軌跡や領域になるのかがあやふやな人はしっかり勉強しましょう.文系ならそこまで理解してなくてもいい気もしますが.

<第3問>
ぱっと見で高校入試でよく見そうな絵だな.と思った.直線の式に拘り過ぎずに,単に円が外接する問題だと認識した方が解きやすいと思います.上手く式変形して相加相乗を用いましょう.
半径が求まったらTがABの内分点であることよりTの座標を求めて式出して完了.最後でテンパったら式出すのに時間かかりそう??(めっちゃいい加減に言ってます)

<第4問>
理系の確率と同じようなやつ.本質は同じだけどこっちのほうが若干簡単.

なるべく他の大学のも解いときます.....
その前に喉治します...

成績,伸び悩んでいませんか?



なんで角度って1周360°なの?

個別指導の学習空間.八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.

今日は結構どうでもいい話を少しだけします.
三角形の内角の和は?と聞かれれば皆さん口を揃えて180°と言うでしょう.もちろん正解です.
我々はある点の周りの角が1周360°であることを知っています.これは度数法と言って,小学生でも習うものです.高校生になると円周の弧長と中心角が比例する関係を用いて弧度法が定義されます.
さて,なんで度数法は360°なのでしょうか.僕は昔は「1周400°で良くね?そしたら直角が100°でわかりやすいじゃん」と思ってました.度数法が360°である由来は2つあります(諸説あると思います).1つは,暦が1年だいたい360日であること.360日経つと1年経ってなんとなく1周した気がするからということです.
もう1つの理由ですが,これの方が実用的な由来です,360という数が非常に約数の多い数だということです.

例えばもし,1周が101°だったとしましょう.すると,平角は50.5°,直角は25.25°と小数で表されることになり,綺麗ではありません.360だと2でも4でも6でも割り切れるので平角や直角,はたまた正三角形の1つの内角も綺麗な整数値で表すことが出来ます.これは実用上非常に便利です.
実は360は500以下の自然数の中で最も約数の多い数で,24個の約数を持ちます.500以下の自然数で約数を24個持つ数は360,420,480の3つだけで,360はこの中で最小の自然数です.

ちなみに1日が24時間も,24の約数が多いというのが1つの理由です.24は8個の約数をもち,30以下の自然数の中では約数の個数は最大です.
時間が60進法で表されるのもこれが理由かと考えられます.60の約数は12個で,60以下の自然数の中では最大です.

最後に約数の個数の求め方です.$N$が素数$p_1,\cdots ,p_n$を用いて以下のように素因数分解されているとします.
\[N={p_1}^{q_1}\times \cdots \times {p_n}^{q_n}(q_1 \cdots q_n は自然数)\]
このとき,$N$の約数の個数は
\[(q_1+1)\times \cdots \times(q_n+1)\]
で与えられます.証明は初等整数論の本を読んでもらうか,高校の数学Aの教科書を読んで下さい.

成績,伸び悩んでいませんか?



高校入試

皆さんこんにちは。
個別指導学習空間、八千代台教室・八千代大和田教室の川田です。

本日で千葉県公立入試前期日程が終了いたしました。
受験生は自己採点しましたか?
結果はいかがだったでしょうか?

どちらにせよ、まだ結果は出ていません。
万が一に備え準備を怠らないでくださいね。

我々講師陣は最後まで全力でフォローします!一緒にがんばりましょう!

さて、頑張っている受験生を見ていると私が受験生だった時のことを思い出します。
受験前にかつ丼食べて胃がもたれたことも、緊張して眠れなかったことも
今となっては本当にいい思い出です。

今の受験生にとってもこの苦しんだ(?)期間が最高の結果で、最高の思い出になることを願っています。

今度は今の2年生が苦しむ番ですねww
我々も共に苦しみます。

目指せ志望校合格!!

千葉の塾なら個別指導の学習空間

ただまともな数学を.(生徒との会話の中で)

個別指導の学習空間.八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.

今しがた立命館の問題を解いてたのですが,今日は頭が回らなさそうなので途中で解くのを辞めました.そろそろ上智や理科大あたりの問題が出てくるので本腰入れねばというところです.

さて,今日は生徒にこんな事を言われました.その生徒は友達から教えてもらったそうなのですが,主張はこうです.

「底円の半径を母線の長さで割って360を掛ければ,展開図における扇形の中心角が出る」

というのです.式で書くと,母線の長さを$R$,底円の半径を$r$,展開したときの側面の扇形の中心角を$\theta$とします.すると以下の等式が成り立ちます.
\[\frac{r}{R}\times 360=\theta\]
一見不思議な式に見えますが,何のことはありません.中学生なら直感的にも分かると思いますが,次の等式が成り立ちます.
\[360:「扇形の中心角」=「母線を半径としたときの円周」:「扇形の弧長」\]
文字で書くと少し分かりにくいですが,扇形を円の一部と考えると,円全体とその一部の比はどのような値で測っても同じなはず.という直感的に正しい事実に基づいています.
今,上述の文字設定で上の等式を再現すると,
\[360:\theta = 2\pi R:2\pi r=R:r\]
となります.扇形の弧長が底円の円周と等しいことを思い出して下さい.そして内項の積と外項の積が等しいので,
\[360\times r=\theta \times R\]
となって,最初の等式
\[\frac{r}{R}\times 360=\theta\]
が導けます.簡単でしょ.
問題は,中学生でも理解できる程度の証明しか要さない公式・定理をさも魔法のような式と奉って子供に教えている大人が少なからずいるということです.もちろん,球の体積や微分積分の厳密な理論のように学校数学の範囲ではどうしても説明しきれないものはたくさんあります.しかし,その学年までに習っている仮定を用いれば証明できる・原理が理解できるものに対してはその説明に労を惜しんではならないと思います.

よく知られている扇形の面積公式
\[S=\frac{1}{2}lr\]
についても,先程申し上げました中心角の比と円周と弧長の比が等しくなるという直感的事実を用いれば,
\[S=\pi r^2 \times \frac{l}{2\pi r}=\frac{1}{2}lr\]
とものすごくシンプルに導くことが出来ます.そして,その証明をしないのであれば,その公式は使うべきではありません.暗記するものが余計に1つ増えるだけです.実際,私は上記2つの公式は使ったことがありません.自分で問題を解くときもです.
どうか善良な学生の皆さんは,ただ真っ当な勉強をしていただきたい.式を覚えて問題を解くなんてのは数学じゃない.
数学というのは定義の心を理解し,その自明な演繹から導かれる非自明な結論に感動を覚える学問です.

 

人から数学をやって何になるのかと聞かれるが、私について言えば、ただ数学を学ぶ喜びを食べて生きているというだけである……。

春の野に咲くスミレはただスミレらしく咲いているだけでいいと思っている。咲くことがどんなによいことであろうとなかろうと、それはスミレのあずかり知らないことだ。咲いているのといないのとではおのずから違うというだけのことである。

岡 潔

成績,伸び悩んでいませんか?



関西学院大学 全学部日程 数学 雑感

個別指導の学習空間.八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.

はいこんばんは.あんまり西の方の大学の問題は解かないのですが,今年はまぁ見れるところは粗方見ておこうということで解きました.雑に書いてるので誤植などありましたらすいません.

じゃあ神学部や教育学部系統の問題から.制限時間は60分です.
<大問1>
(1)は教科書レベル.変域の端で最小値を取るのでそれぞれ範囲出して「または」でつないでおしまい.「かつ」じゃないよ.
(2)も教科書レベル.何も言うことありません.

<大問2>
(1)ウから出来ない人は出来ないかも.解と係数の関係.分母が正になるので普通に不等式を計算すればOK.答え出すときにア,イと「かつ」にするのを忘れないように.共有点を持つ条件下で考えているので.
(2)いきなり一般項求めろだったら出来ない人も多いかもしれないけど,誘導に全部書いてくれてるので困ることもない.

<大問3>
理系なら10分かけてほしくない問題.文系は合成関数の微分を習わないので(2),(3)でちょっと計算が面倒になるかも.

次は文学部,法学部系統の問題.
<大問1>
教育系統と同じような問題.
(1)対称性から$\triangle APB$が直角二等辺三角形になることに気づけばOK.$AB$の中点を$M$とすれば条件は$AM=MP$なので処理が楽.定番の問題.
(2)同じく確率.ケからの正答率が下がってそう.奇数のみの場合,2か6が1つだけ入る場合を数えて全体から引く.コは面倒そうだけど普通に1~5まで順番に数えても3分あれば数えられるので問題ないかと.

<大問2>
(1)エまでは教科書.オは$DP$上に円の中心が乗ってるときが最大なので$D$から中心までの距離と円の半径を足しておしまい.
(2)クがちょっとムズいかも.漸化式を作ることを考えて$c_{n+1}$を計算する.コは時間足らないかもしれないので飛ばしてもOK.

<大問3>
(1)連立してパラメタ分離してグラフ書いておしまい.$a>0$を見落とさないように.
(2)(1)のグラフに注目.$x=1$なる点で曲線と直線が接しているので,$f(x)-g(x)$は$(x-1)^2$で割れることに気づこう.そうすれば一瞬.
(3)接線の交点出してシコシコ積分.なんか変な公式があったような気がするけどあんなもん覚えてないし覚える価値もないのでこれくらいは計算しましょう.

最後は理系.解答時間は90分.
<大問1>
一問一答.
(1)教科書.言うことなし.
(2)重心の位置ベクトルだけしっかり使えればOK.
(3)$\alpha=\omega$なので暗算で$\alpha^{999}=-1$

<大問2>
エまでは流れるように解きたい.
途中で行き詰まってもカは絶対解けるはず.問題は最後まで読もう.コは関数が苦手な人は問題の意味が掴みづらいと思う.
とにかく$\sin$だけの形にしようとセコセコ計算してればそのうち行き着く.

<大問3>
ただの漸化式を利用した確率問題.慣れてる人はなんでもないだろうけど,数列マジ無理な人はここはエくらいから全滅かも.
記述式じゃないからクだけ計算したら先にコを埋めてもいいと思う.どうせ同じになるはずだから.

<大問4>
一番計算量多いかな?
(2)が取れけば自動的に(3)が解けるので(2)は何としてでも解きたい.外心は垂直二等分線の交点なので,$AB,AP$の方程式を連立したものの解が$(s,t)$.
(4)は(3)がヒント.半径を$s$で表すことを考えよう.出てきた$s$を(2)の結果に代入して$p$を求める.$p$の変域に注意.

成績,伸び悩んでいませんか?



順天堂大学医学部 数学 超雑感

個別指導の学習空間.八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.

センター試験以後,全くブログを更新していませんでした.仕事してないときは寝てるか教材作ってるか数学してるか読書してるか考え事してるか酒飲んでるか本屋行ってるかのどれかなので(本当にこれくらいしか行動パターンがない)見ようによっちゃ暇人なのかもしれません.

さて,そろそろ私立大学の入試が始まります.取り敢えず順天堂の医学部の問題です.ザーッと見ただけなのでてきとうに.

<大問1>
(1)は与えらてた2点を通る放物線の問題.束の考え方がしっかりできている人にはなんでもない問題だと思います.サクッと完答を目指したいところ.

(2)は円錐に水を入れて傾けたらどんだけ水残りますか問題.スまで出来れば十分かなー.時間が短いことを考えるとスまで出来たら次も問題いっちゃってもいいかも.
楕円の短軸の長さを出す辺りから正答率が下がってる気がしますが,ここが出来れば一気に最後まで行けると思います.$OC$と$AC$が直交するので体積がすぐに求まります.

(3)これも出来れば完答したい.問題の聞き方がややこしくて戸惑うかもしれませんが,ただの最大最小問題です.というか1行目見た段階でアステロイドだってのは誰でも気づくので楽かと.焦って微分の計算で間違わないように.

(4)状況を把握出来るかどうかが問題.キツそうならアだけ速攻で解いて次行こう.内積の値とアから$CD$の長さが出ることに気づけばあとは計算ゴリ押し.ちょっと計算量が多いので面倒.

<大問2>
3次関数の面積比の問題.誘導が結構面白い.コまでいければ十分.

<大問3>
一問一答.相変わらず計算が面倒&やりたくない問題が並ぶ.
(1)は三角形を$O$を中心に相似拡大するだけ.
(2)もほぼ同じ問題.
(3)はちょっと面倒.判別式の正負で場合分けして前半はOK(文字が多くて嫌になるが).後半は$y\to \displaystyle \frac{y}{t},x\to \displaystyle \frac{x}{t}$と変数変換したら得られるので,$t$倍の相似拡大だと気づければOK.気づけなかったら計算の泥沼.
(4)大問3の中では一番計算が面倒.接点で場合分けして,$x^2$の係数で場合分けして丁寧に処理.

飛び抜けて変な問題とか難しい問題はなかったですが,計算量が多いし70分だと処理しきれないかな.
大問1:(1)○,(2)△,(3)○,(4)△
大問2:△(コまで.最悪オまででもOK?)
大問3:(1)○,(2)○,(3)×,(4)×
くらいで合格点行く?ギリギリ足らないかな?どうかな?

成績,伸び悩んでいませんか?



「ラクな発音」を求めて

学習空間習志野藤崎・八千代台教室の高橋です。

またの名を語学大好きっ子の高橋です(最近は数学も好きです)!!
ものすごく久しぶりのブログなので書くことが思い浮かばない!!
なので、私の独断と偏見でちょっと語学的な話をしちゃいます。
何語の話しかって、第一回目は、とりあえず日本語の話です(笑)。

さて、みなさんはなぜ、「日本語のハ行」には「パ」のように「マル」があるかご存知でしょうか。それ以外の行は「バ」のように「テンテン」だけですよね。この謎を解くカギとして江戸時代にこんななぞなぞがありました。

Q.はは には二回あうけど、ちち には一度もあわない。それは何だ?









答えは「唇(くちびる)」です。

なぜか??実は、江戸時代に「は」という文字 [ha] ではなく [pa] と発音されていました(ちなみに「ば」は今と同じで「ba」と発音されていました)。「ぱ」と発音してみると分かりますが、確かに発音する際に唇がくっついていますね。一方「ち」はどう頑張っても唇が合う事はありません。そして、意外なことにこの時点では現在の「は」の音、つまり [ha] という発音はまだ日本語にはありませんでした。

ところで、人間はストレスが多いのと少ないのなら、少ない方が好きですよね。言葉の発音の変化も似ていて、ストレスがより少ない発音方法へと変わっていく傾向があります。いちいち口を閉じて、息をため込んで一気に吐き出す [pa] よりも、最初から口をあけて、息を出す [ha] の方が楽だと言う事になって、現在の「は」の発音へ変わって行きました。そこで、じゃあもともとあった [pa] の発音を表すにはどうするかという事になって「マル」を付けることにしたのです。このような経緯で改めて「は」は[ ha]、「ぱ」は [pa] と発音するようになったのです。「ハ行」と「パ行」の知られざる歴史といったところですか。

ちなみに、更に面白いのが、「pa」から「ha」へと発音が変わっていく中で、通過点として「fa」という発音がありました。実際に発音してください。「ふぁ」。唇は完全に閉じているわけでもないし、だからと言って開き切っているわけでもないのが分かります。この「pa」から「fa」への変化を見ると、ヨーロッパの言語の歴史が分かります。ヨーロッパの言葉の多くはもともとラテン語だった単語をたくさん含んでいますが、その中に、pater(神父) という単語があります。[pa]は[fa]だから、置き換えると…fater。英語の ”father” という単語はここから来ています。その他にもラテン語の”pisces (魚)” から英語の”fish”などがあります。

やっぱり楽な発音に変えたいと言う人間の怠け癖は、世界共通のものなんでしょうね。では、今日はこの辺で、また機会があれば、語学トークをしたいと思います。ではまた~。

千葉の塾なら個別指導の学習空間