2015年 3月 の投稿一覧

真か偽か?

個別指導塾・学習空間,八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.

次の不等式,正しいでしょうか?
\[3\geqq 3\]
記号「$\geqq$」の意味は「$>$または$=$」です.つまりこの場合,$3=3$ですので上の不等式は正しいです.

ではこれは?
\[-2\leqq \cos \theta +\sin \theta \leqq 2\]
任意の実数$\theta$に対してこれは正しい不等式です.ただし等号が成り立つような$\theta$は存在しませんが.しかし,すべての実数$\theta$に対して$\cos \theta +\sin \theta$の取り得る値の範囲は?と聞かれたら,上の不等式では間違いで,正しくは
\[-\sqrt{2}\leqq \cos \theta +\sin \theta \leqq \sqrt{2}\]
が値域となります.ちょっと何言ってるか分からない人は僕の教室に来てください(笑)

じゃあ最後に,関数$y=x^2 +1(x\geqq 0)$ の最小値を知りたいとします.相加相乗平均の関係式から,
\[y=x^2+1\geqq 2\sqrt{x^2\cdot 1}=2x(\because x\geqq 0)\]
であり,この等号成立は
\[x^2=1 \iff x=1(\because x\geqq 0)\]
のとき.・・・(★)
よって$y$の最小値は$x=1$のときに,$1^2+1=2$である.?

明らかに間違いですね.最小値は$x=0$のときの1です.上の文章は何が間違っているのでしょうか?実は(★)までに書いてあることはすべて正しいです.やっぱりブログで説明するのは面倒なので知りたい生徒の方は教室に来てくださいw

もうすぐ新年度です.今期の入試は中学生は全員前期入試で合格を果たしてくれました.高3生も全員望む大学に合格しました.皆本当によく頑張ったと思います.
あまり感動的な言葉とかは苦手ですし,僕が言うべきでもないと思っているので,卒業される生徒さんは僕と最後に会った時は拍子抜けしたかもしれません.

また来年度です.頑張ります.

成績,伸び悩んでいませんか?



楽器と脳

個別指導塾 学習空間 八千代台,習志野教室の高橋です.

最近も相変わらず寒い日が続いてますが、皆様はいかがお過ごしでしょうか。こちらは、三年生の受験がやっとひと段落、久しぶりに休みを満喫しておりました。
さて、私の趣味はチェロを弾くことですが、かれこれ半年ぐらいずーっと忙しくてなかなか引く時間がありませんでした。
楽器(特に木でできている楽器)というものは弾かない時間が長くなれば長くなるほど、音の鳴りが悪くなっていくものです。というのも、木製の楽器は毎日引くことによって、音の振動で木材内部が柔らかくなり、この柔らかさが豊かな響きを生むからです。案の定、かつて弾いていた時のチェロの音色を取り戻すために、数日間ずっと楽器のリハビリをしていました(なので、演奏を楽しむどころではありません)。

さて、このような現象は人間の脳みそも同じようにおこると思っています。毎日使わないと「頭がかたくなる」と言われるのは、まさにこのことだといえるでしょう。やわらかく、柔軟さに富む脳を維持するためにも、みなさんも我々講師も毎日頭を使い続けたらと思います。ただし、脳みそは楽器と異なり、一度硬くなったらそう簡単に元には戻らないそうです(これを専門用語で「化石化」といいます)。また、そのリハビリにかける十分な時間があるかといえば、それもなかなか難しいです(特に学生時代が終わってしまい、社会人になると本当に時間がありません)勉強といわれるものは、要は頭の体操のことです。脳がかたくなって化石にならないように、つねに「勉強」でマッサージしておきましょう。

ではまた~

千葉の塾なら個別指導の学習空間

春の足音

個別指導・学習空間 八千代台,八千代大和田教室の川田です.

暖かくなってきましたね.今日もぽかぽかしてていい天気です.
多くの方が,こんな春を待ちわびていたのではないでしょうか?
冬は着ることが出来なかった春ものの服に着替えて出かけしたり,
桜が咲いた頃にはお花見して,
進学された方は新しい学校にドキドキして
新しいクラスでは仲の良い友達や,意中のあの子と同じクラスになれるかハラハラして
などなど,新しいことを始めるにはぴったりの季節です.

教室でも,一年間の復習や新学年に向けての予習など生徒たちも頑張っている姿を見て
私も頑張らねば!という感情が湧いてきます.
生徒の頑張っている姿が,我々塾講師のモチベーションになります!
一緒に頑張っていきましょう!!!!

余談ですが,私は春という季節が大っ嫌いです.
なぜかというと,,,
そう!花粉です!!
毎年,こやつには苦しめられています.
この花粉さえなければ本当にいい季節.
皆さんもこの春を満喫して下さい!
私はあまり出かけたくありませんので,休みは自宅で読書でもします笑

千葉の塾なら個別指導の学習空間

数Ⅱの恒等式について

個別指導塾・学習空間,八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.今回誤植等多いかもしれませんのでご了承下さい.間違ってたらコメントでお願いします.

今回は数学Ⅱの恒等式について書きます.大学初年度レベルの内容が入ってきますし,全部最初から説明する気も更々ないので分かんなかったら飛ばして下さい.まず恒等式の定義から述べましょう.

<定義>
文字$x$を含む等式において,$x$にどんな値を代入しても等式が成立するとき,この等式を文字$x$についての恒等式という.

恒等式と方程式の違いを良く分かっていらっしゃらない方が多いのですが,ようは方程式は特定の値でしか成り立たない式,恒等式は任意の値で成り立つ式ということですね.文字通り恒(つね)に等しい式です.

<例1>
\[x^2-1=0\]
という等式は$x=\pm 1のときにしか成立しないから方程式であるが,$
\[x^2-1=(x+1)(x-1)\]
は$xにいかなる値を(虚数でさえも!)代入しても成立するので恒等式である.$

上の例から分かるように展開や因数分解という操作は式の恒等性を崩しません.数学Ⅱでは次のような問題でよく出てきます.

<例2>
\[a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)+c(x-3)(x-1)=x^2+1 \cdots ①\]
が恒等式となるための定数$a,b,c$ の値を述べよ.

まぁ典型的な問題ですね.数Ⅱが終わってる人なら出来ると思います.後でちゃんと証明しますが,両辺の式の「形が」同じであれば恒等式となります.つまり,与えられた式①を変形(左辺を展開)して
\[(a+b+c)x^2-(3a+5b+4c)x+(2a+6b+3c)=x^2+1 \cdots ①’\]
とします.ここで「式の形が等しい」ということは両辺の$x$の項の係数がすべて等しいことですので,

\begin{array}{l}
a+b+c=1\\
3a+5b+4c=0\\
2a+6b+3c=1
\end{array}

より
$a=5,b=1,c=-5$ ・・・ (答)

となって答が求まります.この解法を係数比較法(だったっけ?)と言います.

高校数学においてもう一つ大事な考え方があります.それが数値代入法(未定係数法)です.
恒等式というのはどんな値を代入しても成立する式のことです.ということは具体的に$x=1$だの$x=2$だのという値を代入しても等式が成立していないといけないわけです.そこで①に$x=1$,$x=2$,$x=3$をそれぞれ代入すると,
\[b(-1)(-2)=2\iff b=1\]
\[c(-1)(+1)=5\iff c=-5\]
\[a(+2)(+1)=10\iff a=5\]
となって一瞬で答が出ます.しかしながらここまでの議論では

\[x=1,2,3のときにのみ等式が成立するという保証しかない\]

ことになります.つまり「求める$a,b,c$ の値は分からないけど<存在するとしたら>$a=5,b=1,c=-5$ しかないよ」と言っているわけです.ですのでここで得られた値を①に代入してホントに①が恒等式になるのかをキチンと確かめなければなりません.この辺の必要条件だの十分条件だのの議論が難しくて数学が嫌いになっちゃう人が多いのですがちゃんと考えれば大したことはありません.

しかし実は次の大事な定理があります.

<定理:未定係数法の原理>
$f(x),g(x)$ が高々$n-1$ 次の整式であるとき,以下の3つは同値.

(1) $f(x)=g(x)$ が恒等的に成り立つ.

(2) $f(x),g(x)$ の各次数の係数が一致する.

(3) 相違なる$n$ 個の値$x_i(1\le i \le n)$ たちに関して$f(x_i)=g(x_i)$ が成り立つ.

上の定理によると,例2であれば,両辺は高々2次式ですので異なる3個の$x$の値について調べれば必要十分だよと言うわけです.つまり数値代入法の解法において,逆を確かめる必要がないということですね.これは助かります.

さて,証明についてですが(1)$ \Longleftrightarrow$ (2)と(2)$\Longrightarrow$ (3)は簡単にわかると思います.ですので問題は$(3) \Longrightarrow (2)$を示すことです.そこで次の補題を述べておきます.

(注意)ここから先は18禁です.

<補題:Vandermondeの行列式>
\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
1& x_1& {x^2_1}& \cdots& x^{n-1}_1\\\\
1& x_2& {x^2_2}& \cdots& x^{n-1}_2\\\\
\vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\\\
1& x_n& {x^2_n}& \cdots& x^{n-1}_n\\
\end{vmatrix}
=\prod^{}_{1\le i\le j\le n} (x_j-x_i)
\end{eqnarray*}

証明は面倒なのでパスです.線形代数の本なら恐らくだいたい載っているかと思います.新課程の人で行列やったことないって人は行列やってから見て下さい.

さて,では
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}\\
g(x)&=&b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}
\end{eqnarray*}
とおき,(3)を仮定します.相違なる$n$ 個の値$x_i(1\le i \le n)$ たちに関して$f(x_i)=g(x_i)$ が成り立つ,すなわち以下が成り立つとします.

\begin{eqnarray*}
a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+\cdots +a_{n-1}x_1^{n-1}&=& b_0+b_1x_1+b_2x_1^2+\cdots +b_{n-1}x_1^{n-1}\\
a_0+a_1x_2+a_2x_2^2+\cdots +a_{n-1}x_2^{n-1}&=& b_0+b_1x_2+b_2x_2^2+\cdots +b_{n-1}x_2^{n-1}\\
&\vdots&\\
a_0+a_1x_n+a_2x_n^2+\cdots +a_{n-1}x_n^{n-1}&=&b_0+b_1x_n+b_2x_n^2+\cdots +b_{n-1}x_n^{n-1}\\
\end{eqnarray*}

$a_k-b_k=A_k$とおけば上の連立方程式は

\begin{eqnarray*}
A_0+A_1x_1+A_2x^2_1+\cdots +A_{n-1}x^{n-1}_1=0\\
A_0+A_1x_2+A_2x^2_2+\cdots +A_{n-1}x^{n-1}_2=0\\
\vdots             \\
A_0+A_1x_n+A_2x^2_n+\cdots +A_{n-1}x^{n-1}_n=0\\
\end{eqnarray*}

これを行列を用いて表すと

\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1& x_1& {x^2_1}& \cdots& x^{n-1}_1\\\\
1& x_2& {x^2_2}& \cdots& x^{n-1}_2\\\\
\vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\\\
1& x_n& {x^2_n}& \cdots& x^{n-1}_n\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_0\\\\ A_1\\\\ \vdots\\\\ A_{n-1}
\end{pmatrix}
=O \cdots (★)
\end{eqnarray*}

であり,ここで

\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
1& x_1& {x^2_1}& \cdots& x^{n-1}_1\\\\
1& x_2& {x^2_2}& \cdots& x^{n-1}_2\\\\
\vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\\\
1& x_n& {x^2_n}& \cdots& x^{n-1}_n\\
\end{pmatrix}
=\mathbb{X},
\begin{pmatrix}
A_0\\\\ A_1\\\\ \vdots\\\\ A_{n-1}
\end{pmatrix}
=\mathbb{A}
\end{eqnarray*}

とおくと(★)は

\[\mathbb{XA}=O \cdots(☆)\]

となる.ここで補題より,
\[|\mathbb{X}|=\prod^{}_{1\le i\le j\le n} (x_j-x_i)\]
であり,すべての$i,j$ に対して$x_j\neq x_i$ であるから,$|\mathbb{X}|\neq 0.$
従って$\mathbb{X}$ の逆行列$\mathbb{X}^{-1}$ が存在するので,それを(☆)の両辺に左からかけると
\[\mathbb{X}^{-1}\mathbb{X}\mathbb{A}=\mathbb{X}^{-1}O \iff \mathbb{A}=O\]
となる.これは$A_{k}=0(0\le k\le n-1)$ ,すなわち$a_k=b_k$ を意味し,(2)を得る.(証明終)

こんな感じです.これで証明できたので,これからは安心して数値代入法を使っていいわけですね.たまには普通の数学のお話でした.

成績,伸び悩んでいませんか?