個別指導塾・学習空間,八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.
最近更新頻度が多いですね.なるべく書こうと思って意図的にたくさん書いています.ホントはもっと「うちの塾はこんなに凄いことやってんだぜ!!」みたいなことを書いたほうがカッコイイんでしょうが,残念ながら僕はあまりそういうカッコええことは書けないのですw
ということで今日も気ままに数学の話題を.高2の微積分です.昨日とある問題集をやってた時に見た室蘭工業大学の今年の入試問題です.
【問題】
$a,b$ を定数とし,関数$f(x)$ を
\[f(x)=x^3+ax+b\]
と定める.また,$f(-2)=-1,f'(-2)=9$ とする.
(1)$a,b$ の値を求めよ.
(2)曲線$y=f(x)$ 上の点$A(-2,-1)$ における接線を$l$ とする.また,点$A$ を通らない$l$ に平行な$y=f(x)$ の接線を$m$ とする.このとき,$l$ および$m$ の方程式を求めよ.
(3)(2)で求めた$m$ と曲線$y=f(x)$ で囲まれた図形の面積を求めよ.
The基本問題って感じの数Ⅱの微積分の問題です.(1)は簡単なので今回の話題じゃないので飛ばします.答えは$a=-3,b=1$ です.(2)からがちょっとお話しようかなという問題です.普通の解法は自分で考えといて下さい.文系の人にはあまり馴染みがないですが,変曲点という概念を導入します.$f”(\alpha)=0$ を満たす$\alpha$ において,$(\alpha,f(\alpha))$ なる点を変曲点といいます.「曲がり方が変わる点」と書きますが,その辺は取り敢えず置いておきます.実は三次関数はこの変曲点を中心に点対称なグラフになることが知られています.
【証明】
任意の三次関数のグラフを平行移動すれば,変曲点を原点に持ってくることが出来るので,変曲点が原点である場合のみを考えれば十分である.
すなわち,
\[f”(0)=0 かつ f(0)=0\]
なる三次関数$f(x)$ を考える.3次式を二階微分すれば一次式になるので,$f”(0)=0$ と合わせて,$f”(x)=ax$ とおける.これを2回積分し,$f(0)=0$ に留意すると
\[f(x)=\frac{a}{6}x^3+bx\]
となる.これは$-f(-x)=f(x)$ を満たすので原点対称である.[証明終]
これで3次関数のグラフが変曲点において点対称であることが言えました.まぁ3次関数のグラフを一度でも書いたことのある人ならなんとなく直感できる事実だと思います.3次関数のグラフは以下のようになります.

なんとなく真ん中の点で点対称になると思いませんか?今やったのはその点を原点に持ってきて,原点対称になることを示したのです.
では(2)に戻りましょう.別にこの問題普通に解いても大したことありません.2接線が平行になるという条件から2つの接線の傾きが等しくなります.つまり結局は
\[f'(x)=9\]
を解くだけの簡単な問題です.しかしちょっとだけ見方を変えてみましょう.先ほど3次関数のグラフは変曲点において点対称になることを示しました.つまり2本の接線が平行になるということは,それらの対応する2接点が変曲点において対称になっているわけです.どういうことだって?
絵で見ればわかりやすいと思うのですが,3次関数に平行な2接線を引けば下図のようにならざるを得ないということです.

さて,計算はバシバシ端折っていきますが$f”(x)=0$ を解くと$x=0$ が得られます.つまり変曲点は$(0,1)$ です.そして$l$ とグラフの接点は$A(-2,-1)$ でしたので,点$(0,1)$ に関して点$A$ と対称な点$B(2,3)$ が$m$ とグラフの接点となります.あとは点Bを通り,傾きが9の直線の式として
\[m:y-3=9(x-2)\iff y=9x-15\]
が得られます.
メインのお話はこれでオシマイなのですが,最後に(3)の前半について少し.
交点の座標を調べないといけないので,
\[f(x)-(9x-15)=0\iff x^3-12x+16=0\]
を解くことになります.計算力がしっかり身についていないとこの辺で結構たじろいでしまうかもしれないのですが,$m$ とグラフが接することから上式の左辺は$(x-2)^2$ で割れることがわかります.ということは$(x-2)^2$ の定数項4と方程式の定数項16を見て,もう1つの解は$x=-4$ だと分かります.長くなるので説明はしませんが,今の計算が分からない高校生は僕のいる日に教室に来てくださいw
で積分区間がわかったのであとは積分を実行するだけです.積分の計算も一応テクニックがあるのですが,大したものじゃないのでここでは省きます.というかこれくらいなら普通に積分しても大して時間変わらないので.
今日の話はこれくらいで.普通に解いても基本問題ですが,少し先の知識を入れるとちょっとだけ眺めが変わって面白いかもよ?というお話でした.
思いつきで書いているので誤字脱字,数学的な間違いなどもあるかもしれません.もし間違いなどに気づかれましたら,コメントまたはTwitterの方にぜひともお願い致しますm(_ _)m
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