2015年 8月 の投稿一覧

夏休み!

個別指導塾の学習空間、八千代台教室・八千代大和田教室の川田です!

みなさんこんにちわ!
8/12~8/15、塾はお休みでしたが、皆さんはどのように過ごしましたか?

全力で遊んだ人、全力で勉強した人、勉強も遊びも適度にやった人・・・
いろんな過ごし方をした人がいるかと思います。

私はというと、故郷に帰っていました。
少し地元にいないだけでも様々なものが変わっていきますね。
いつの間にか、出来ているお店なんかにはとても驚きました。笑

街はどんどん、そしてすぐに変わまります。

しかし、人はすぐには変われません。

それでも受験生は、受験に向けて変わっていかなければなりません。

夏期講習も終わり、夏休みももう終わります。

すぐには変われないですが、少しずつなら変わっていけます。

心が変われば、態度が変わる
態度が変われば、行動が変わる
行動が変われば、習慣が変わる
習慣が変われば、人格が変わる
人格が変われば、運命が変わる
運命が変われば、人生が変わる

まずは心から変えていきましょう。

これから受験に向けて共に頑張りましょう!

千葉の塾なら個別指導の学習空間

夏期講習終了

個別指導の学習空間,八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.

本日で夏期講習の全日程が終了しました.参加した生徒の皆さん,お疲れ様です.明日からは通常指導に戻ります.講習の内容が終わっていない生徒は振替を取るようにして下さい.

講習中は普段よりも少し突っ込んだ話をしたと思います.今している勉強とは直接関係のないようなことまで話した生徒もいます.勉強の内容はもちろんですが,「何か学んだな」と思えるものであったのなら幸いです.

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ちょこっと整数ランド(高校数学)



個別指導塾の学習空間,八千代大和田教室・四街道東教室の小西です.

 今日は素数について簡単なことをいくつか書きます.では素数の定義から始めましょう.なお,以下で「数」と言った場合それは「自然数」を指すものだとします.

【定義】2以上の数であって,その約数が1と自分自身のみであるときそれを素数という.素数でない数を合成数という.

 1と自分自身は必ず約数になるので,それを「自明な約数」と呼ぶことにすれば,素数とは自明な約数しか持たない数,あるいは非自明な約数を持たない数ということが出来ます. 上の定義から「2以上の」という文言を外すと,1も素数の定義を満たすことになります.しかし1を素数に入れてしまうと都合が悪い.その理由は素因数分解にあります.例えば360という数を素因数分解(ある数を素数の積で表すこと)すると,
\[360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\]
となります.これは素因数の積の順番を除けば一意に決まります.つまり360という数は「2を3回,3を2回,5を1回掛けあわせた数」と定義できます.僕はよく素因数分解を「数の性格が見える」と言いますが,360と書くより「2を3回,3を2回,5を1回掛けあわせた数」と書いたほうがなんとなくその数のことを分かってあげられた気がしませんか?このように素因数分解というのは任意の数に対して一意に決まります.これは素因数分解の一意性と言って,初等整数論では証明を要する定理なのですが,中高生には感覚的に成り立つでしょ?って説明でおしまいにされています.なのでここでも証明はしません.気が向けばいつか書くかもです.

 さて,もしここで1が素数だとしたらどういう事が起こるかというと

\begin{eqnarray}
360&=&2^3\cdot 3^2\cdot 5\\
&=&1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5\\
&=& 1^2\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5
\end{eqnarray}

などが全て360の素因数分解という事になってしまいます.これでは素因数分解の一意性が成り立ちませんので非常に都合が悪い.ですので,1は素数から省くようになっています. 僕は教える時は最初から1を省けるように「素数とは,約数をちょうど2個持つ数の事である」と教えることがあります.1の約数は1の1個だけですから,この定義だと自然と1を素数から除外することが出来ます.

 素因数分解の一意性が使われる証明で有名なものと言えば,数I(旧課程では数A)で習う$\sqrt{2}$の無理数性の証明です.

【問】$\sqrt{2}$が無理数であることを示せ.

【証明】$\sqrt{2}$が有理数であると仮定すると,$\sqrt{2}=\dfrac{q}{p}$($p,q$は整数で$p\neq 0$)とおける.両辺を平方し,分母を払うと
\[2p^2=q^2\]
となる. この式の両辺で,素因数2の個数を比べると,左辺は奇数,右辺は偶数となり素因数分解の一意性に矛盾.よって$\sqrt{2}$は無理数である.[証明終]

 この証明はちょっぴり高尚なので通常の教科書には出てきませんが,メリットとしては$\sqrt{2}=\dfrac{q}{p}$と置くときに,$pとq$が互いに素だという仮定をしなくてもいいところです.

 さて,この素数ですが実は無数に存在します.これから述べる証明はEuclidによるものです.

【問】素数が無限に存在することを示せ.

【証明】素数が有限個しかないと仮定し,最大の素数を$p$とおく.今,
\[N=2\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot p+1\]
という数を考える(すべての素数の積に1を加えた数). $N>p$なので$N$は素数ではない.しかし$N$が合成数だとすると,$N$は何らかの素数で割り切れないとならないが,$N$はどの素数で割っても1余る.よって矛盾が導けるので,素数は無数に存在する.[証明終]

 この証明,色んな書き方がありますがよくある勘違いとしては,「$N$はすべての素数で割り切れないので素数である」と書いてしまうことです.そこより小さい素数で割り切れないから素数かというとそういうわけでもなく,例えば
\[2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031=59\cdot 509\]
です.

 この証明の偉大な点は,素数の無限性に疑いを持ったということではないでしょうか.もし人類が素数は無数にあるという仮定から出発していたら数学の発展は著しく遅れていたと言われています.

 今日はこのへんにします.あんまり内容ないですねw高校数学をちゃんとやっている人からしたら当たり前のことばかり書いています.しかし,自分たちの中では当たり前でも,意外と世間一般では当たり前でないことというのも多いと思いますので何かしら書いていきます.

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普通のこと

皆さんこんにちは。学習空間八千代台・習志野藤崎教室の高橋です。
最近は夏期講習もあり、プライベートではこれといった変化もなかったのですが・・・

先日ついに!!

注文していた車が到着し、本日から、新しい車との生活が始まりました!!!

実はこの車、購入前は少し不安がありました。
というのも、これまで乗っていた車と同様に中古車なのですが、中古車って当たり外れがすごいあるんです。
たとえば、

エアコンがつかない
窓があかない
ブレーキがなかなか効かない
エンジンから変な音が聞こえる

などなど。ちなみにこれ全部私の前のってた車で実際にあったことです(笑)
そもそも、これらは車であれば当然のようにクリアしてなければならない事柄なんですが、中古の車はそうじゃないこともあるんですね。

で、実際その新しい車に乗っての感想ですが、うん、ちゃんとエアコンも付くし、窓もあく。ブレーキはしっかり効くし、エンジンも異常なし。
正直感動しちゃいました。
普通のことが普通にできてる車に出会えて、心の底から安心しました。

普通のことが普通にできるって、実はとても大事なことだなぁと思います。
私もたまにそうですが、「普通のこと」って「簡単なこと」、「つまらないこと」、「どうでもいいこと」、みたいに考えられがちですよね。
でも、それってその存在があまりに当たり前になっているので、本当はいかに大切なことか忘れてしまっているだけなんですよね。
この体験を胸に、「普通のことの大事さ」を見直してみようと思います。

ではまた~

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たまには数学Ⅲでもやりましょう.

個別指導塾の学習空間,八千代大和田・四街道東教室の小西です.

昨日は2週間ぶりにお休みでしたので,本屋に行ったり日用品の買い出しに行ったりしていました.

先週の金曜に理系の生徒にも紹介した問題を1つ.

【問】
\[I_n=\frac{\sqrt[n]{(n^2+1^2)(n^2+2^2)\cdots (n^2+n^2)}}{n^2}\]
とおくとき,
\[\lim_{n\to \infty} I_n\]
を求めよ.

確か今年の京都工芸繊維大の問題です.小問を削除して,問題文を変えるなどちょっと改題してますが.本問は(2)で,(1)が導入になっているので解きやすいのですが,ここでは導入なしでいきましょう.大事なことがいくつか学べる問題です.

① $n$乗根は指数表示した方が良い.
  これは数Ⅲに限ると思いますが,微積関連の問題では根号は指数表示に直したほうが見通しが立ちやすいです.思いつかなければいけないことが浮かびやすいと言いますか,些細な事ですが敢えて述べておきます.そのとおりにすると,
\[I_n=\frac{\{(n^2+1^2)(n^2+2^2)\cdots (n^2+n^2)\}^{\frac{1}{n}}}{n^2}\]
となります.これで少し見通しが良くなります.

② いついかなる時でも,積を和に直すという発想をもつ.
 加法を乗法に直したり,その逆を行うのは数学ではよくあります.例えば指数法則で,
\[a^x\times a^y=a^{x+y}\]
とするのも,2数の積を指数の和に置き換えていると言えます.あと数Ⅲでよく使うのは三角関数の和積・積和の公式ですね.数Ⅱの頃は「いつ使うんだよ」ってツッコミを入れたくなる公式でしたが,数Ⅲになってその便利さに気付いている人は多いと思われます.もちろん,積→和に直すというのは絶対ではありません.積分は名前の割に「積に弱い」ので,和に直してあげるのが鉄則ですが,一般に積は必ず和に直さなければいけないわけではありません.ですが,積の状態で上手くいかないときはいついかなるときも「和に直す」ということを頭の隅に置いておくとよいでしょう.

  ではこの問題,積のままだと上手く出来なさそうなので和に直したいのですがどうしましょう.これも鉄則の1つ,両辺に対数を取るのですね.すると以下のようになります.

\begin{eqnarray*}
\log{I_n} &=& \log{\frac{\{(n^2+1^2)(n^2+2^2)\cdots (n^2+n^2)\}^{\frac{1}{n}}}{n^2}}\\
&=& \log{\{(n^2+1^2)(n^2+2^2)\cdots (n^2+n^2)\}^{\frac{1}{n}}}-2\log n\\
&=& \frac{1}{n}\sum^{n}_{k=1} \log{(n^2+k^2)}-2\log n\\
&=& \frac{1}{n}\sum^{n}_{k=1} \{2\log{n}+\log{\{1+\big(\frac{k}{n}\big)^2\}}\}-2\log n\\
&=&2\log n+\frac{1}{n}\sum^{n}_{k=1} \log{\{1+\big(\frac{k}{n}\big)^2\}}-2\log n\\
&=& \frac{1}{n}\sum^{n}_{k=1} \log{\{1+\big(\frac{k}{n}\big)^2\}}
\end{eqnarray*}

ここまでの計算だけでも結構ハードかもしれませんが,やっといけそうな形が出てきました.定積分の定義,別名「区分求積法」です.両辺を極限に飛ばしてみましょう.

\[\lim_{n\to \infty} \log I_n=\int^{1}_{0}\log (1+x^2)dx\]

ここから,右辺の積分を求めることを考えましょう.部分積分ですね.

③ 部分積分では,「微分したい方じゃない方」を積分する.
 3つめの鉄則です.被積分関数は$1\cdot \log (1+x^2)$です.対数はどう考えても微分したいですよね.ですので1を積分します.
\begin{eqnarray*}
\int^{1}_{0}1\cdot \log (1+x^2)dx &=& \big[ x\log(1+x^2)\big]^{1}_{0}-\int^{1}_{0} x\cdot \frac{2x}{1+x^2}dx\\
&=& \log 2-2\int^{1}_{0}(1-\frac{1}{1+x^2})dx\\
&=& \log 2-2+2\int^{1}_{0}\frac{dx}{1+x^2}\\
&=& \log 2-2+\frac{\pi}{2} (\because \int^{1}_{0}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{4})
\end{eqnarray*}

最後の積分は$x=\tan\theta$と置換するお決まりのやつなのでとばします.よって,
\begin{eqnarray*}
&&\lim_{n\to \infty} \log I_n=\log 2-2+\frac{\pi}{2}\\
&\therefore& \log \lim_{n\to \infty} I_n=\log 2-2+\frac{\pi}{2}\\
&\therefore& \lim_{n\to \infty} I_n=e^{\log 2-2+\frac{\pi}{2}}\\
&\therefore& \lim_{n\to \infty} I_n=2e^{\frac{\pi}{2}-2} \cdots(答)
\end{eqnarray*}

となります.リミットと関数記号の交換は本来なら結構センシティヴな問題なのですが,高校数学では細かいところまでは気にしないでエイっとやっちゃいましょう.元の問題は(1)で$\displaystyle \int^{1}_{0}\log (1+x^2)dx$を求めよという導入が入るので,以上の流れは割と自然に思いつくのですが,導入なしでも難関大レベルなら解けて欲しい問題です.一見難しそうですが,基本知識の組み合わせで解けてしまう良い問題でした.

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